Persamaan
satu varabel
a. Kalimat
terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.
b. Variable
(peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh
sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan
c. Konstanta
adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu
Persamaan-persamaan tersebut mempunyai satu variabel (peubah), yaitu x, p, dan n di mana derajat dari
masing-masing variabel adalah 1, maka persamaan seperti itu disebut persamaan linear satu
variabel.
1. Tentukan hp dan persamaan 2x+6=10
2. Tentukan hp dan persamaan 3x+15=30
3. Tentukan hp dan persamaan2 x+7=21
4. Tentukan hp dan persamaan 8x+17=25
4. Tentukan hp dan persamaan 8x+17=25
5. Tentukan hp dan persamaan 4x+9=29
Jawaban :
1.) 2x +6=10
2x =10-6
X=4/2=2 hp =2
2.) 3x+15=30
3x =30-15
X=15/3=5 hp =5
3.)
2x+7=21
2x =21-7
X=14/2=7 hp =7
4.)
8x+17=25
8x =25-17
X=8/8=1 hp =1
5.)
4x+9=29
4x =29-9 X=20/4=5 hp =5
pertidaksamaan satu variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan
lambing <, >, ≥, dan ≤ . Contohnya bentuk pertidaksamaan : y
+ 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4atu variabel
1.)Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 2x + 5 < 6
2.)Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan
5x–10>7
3.)Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan
9–4x<45!
4.)Tentukanpenyelesaiandaripertidaksamaanx+5<2x-4
4.)Tentukanpenyelesaiandaripertidaksamaanx+5<2x-4
5.)Tentukanpenyelesaiandari12–5a≥3a
Jawaban:
1.2x+5<6
2x<6-5
2x<1
x<1/2
jadi penyelesaiannya adalah x < 1/2
2x<6-5
2x<1
x<1/2
jadi penyelesaiannya adalah x < 1/2
2.5x–10>5
5x>5+10
5x>15
x>15/5
x>3
jadi penyelesaiannya adalah x > 3
5x>5+10
5x>15
x>15/5
x>3
jadi penyelesaiannya adalah x > 3
3.9–4x<45
-4x<45–9
x > 36/-4
x>-9
jadi penyelesaiannya adalah x > - 9
4.x+5<2x-4 x>9
x-2<-4-5
-x<-9 jadi penyelesaiannya adalah x > 9
5
-4x<45–9
x > 36/-4
x>-9
jadi penyelesaiannya adalah x > - 9
4.x+5<2x-4 x>9
x-2<-4-5
-x<-9 jadi penyelesaiannya adalah x > 9
5
5.Jawab:
12 –5≥3a
–5a-3a≥-12
–8a≥-12
a≤-12/-8
a≤-3/2
12 –5≥3a
–5a-3a≥-12
–8a≥-12
a≤-12/-8
a≤-3/2
jadi penyelesaiannya adalah a a ≤ -3/2
B.PERSAMAAN DUA VARIABEL
Kalimat terbuka yang memuat tanda (=),kalimat yang
belum diketahui kberadaannya disebut
nilai x
1.)Penyelesaian sistem
persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q.
Nilai
4p + 3q adalah . . . .
a. 17
b.
1
c.
-1
d.
-17
Pembahasan
:
3x – 2y
= 12 .....................................( 1)
5x + y
= 7 à y = 7 – 5x .................(2 )
Subsitusikan
persamaan ( 2) ke (1 )
3x – 2y
= 12
3x – 2(
7 – 5x = 12
3x – 14
+10x = 12
13x = 12 + 14
x = 2................p = 2
Subsitusikan
nilai x = 2 ke persamaan (2)
y
= 7 – 5x
y
= 7 – 5( 2)
y = 7 –
10 = -3 ..................q = -3
maka :
Nilai
4p + 3q = 4( 2) + 3(-3)
= 8 – 9
= -1
Jadi,
jawaban yang benar = -1 ......( C )
2.)Himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2
adalah . . . .
a.
{(-2, -4 )}
b.
{(-2 ,4)}
c.
{(2, -4)}
d.
{(2, 4)}
Pembahasan :
x –
2y = 10 à x = 2y + 10 ........ (1)
3x + 2y
= -2 ..................................... (2)
Subsitusikan
persamaan (1) ke (2)
3x +
2y = -2
3( 2y +
10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = - 2
8y = -32
y = - 4
Subsitusikan
nilai y = -4 ke persamaan (1)
x
= 2y + 10
x
= 2(-4) + 10
x
= -8 + 10
x
= 2
Jadi, HP adalah {( 2, -4 )}.
3&4.)Himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29 adalah .
.
a.
{(7, 4)}
b.
{(7,-4)}
c.
{(-4, 7)}
d.
{(4, 7)}
Pembahasan:
Gunakan cara eliminasi :
Eliminasi
y kalikan dengan koefisien y
2y
– x = 10 x 3
à 6y – 3x = 30
3y + 2x
= 29 x 2 à 6y + 4x = 58 -
-7x = -28
x = -28: (-7)
x = 4
Eliminasi
x kalikan dengan koefisien x
2y
– x = 10 x 2
à 4y – 2x = 20
3y + 2x
= 29 x 1 à 3y + 2x = 29 +
7y = 49
y = 7
Himpunan penyelesaiannya = {( 4, 7 )}
5.)Jika
2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17,
Maka
nilai dari 2x – y = . . . .
a. -7
b.
-5
c.
5
d.
7
Pembahasan:
Gunakan
cara eliminasi :
Eliminasi
x kalikan dengan koefisien x
2x +
5y = 11 x 2 à 4x
+10y = 22
4x
- 3y = -17 x 1 à 4x –
3y = -17 -
13y = -39
y = 3
Pembahasan:
Gunakan
cara eliminasi :
Eliminasi
x kalikan dengan koefisien x
2x +
5y = 11 x 3 à 6x
+15y = 33
4x
- 3y = -17 x 5 à 20x -15y =
-85 +
26x = -52
x = -2
Nilai : 2x – y = 2(-2) – 3 = - 7
-PERTIDAK SAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Pertidaksamaan :kalimat terbuka yang memuat
tanda<>->-<-
1.
Tentukan pertidak samaan titik potong 3x-2y<24
2.
Tentukan pertidak samaan titik
potong sb y dan sb x 2x+3y>6
3.
Tentukan pertidak samaan titik
potong sb y dan sb x 3x+y<3
4.
Tentukan pertidak samaan titik
potong sb y dan sb x x+2y <4
5.
Tentukan pertidak samaan titik
potong sb y dan sb x x-2y<2
Jawaban
1.
3x-2y<24 X=0
3x-2y=24
3x-2y<24 X=0
3x-2y=24
3.0-2y=24
2y=24
y=24/2
3x-2.0=24
3x=24 x=8
2.
2x+3y>6 x=0 2x+3y=6
2x+3y>6 x=0 2x+3y=6
2.0+3y=6
3y=6
Y=6/2
Y=3
Y=0 2x+3y=6
2x+3.0=6
2x=6
x=6/2
x=3
3.
3x+y<3 x=0 3x+y=3
3.0+y=3
y=3
y= 0 3x+y=3
3x+y.0=3
y=3
4.
x+2y <4 x=0 2x+y =4
x+2y <4 x=0 2x+y =4
2.0+y =4
y=4
Y=0 2x+y=4
2 x+y.0=4
2x=4
x=2
5.
x-2y<2 x=0 x-2y=2
x-2y<2 x=0 x-2y=2
x.0-2y=2
y=2/-2
y=-1
y=o x-2y=2
x-2.0=2
x=2
Sistem persamaan linear 3 variabel , merupakan
himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat
lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel
Metoda meyelesaikan persamaan
1. Metoda Eliminasi
2. Metoda subtitusi
Metoda meyelesaikan persamaan
1. Metoda Eliminasi
2. Metoda subtitusi
Metoda Eliminasi
Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke
contoh-contoh
1.)2x + 3y
– z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
Jawab :
Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1),
(2), dan (3)
2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)
3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)
x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)
Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi
sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z
Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20_____ +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ………………….(4)
Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3)
dikali (1) sehingga diperoleh
6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15____ _
5x = 25
x = 5
Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga
x + y = 8
(5) + y = 8
y = 3
selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan
ke persamaan (2)
3x + 2y + z = 20
3.(5) + 2.(3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}
2.)Tentukan himpunan penyelesaian dari
3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46
Jawab :
Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1),
(2), dan (3)
3x + 4y – 3z = 3 …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21 …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)
Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali
4, sehingga diperoleh
3x + 4y – 3z = 3 |1| → 3x + 4y – 3z
= 3
2x – y + 4z = 21 |4| → 8x – 4y+16z = 84
+
.
11x + 13z = 87 ……………..(4)
Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2)
dikali 2, sehingga diperoleh
5x + 2y + 6z = 46 |1| → 5x + 2y + 6z
= 46
2x – y + 4z = 21 |2|
→ 4x – 2y
+ 8z = 42 +
.
9x + 14z = 88 …………..(5)
Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4)
dikali 9 sehingga diperoleh
9x + 14z = 88 |11| 99x +154z =
968
11x + 13z = 87 |9| 99x +
117z=783
_
.
37z = 185
.
z = 5
Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)
11x + 13z = 87
11x + 13.(5) = 87
11x + 65 = 87
11x = 22
x = 2
Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3)
sehingga
5x +2y +6z = 46
5.(2) +2y +6.(5) = 46
10 + 2y + 30 = 46
2y = 6
y = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}
Metoda subtitusi
3.)Himpunnan penyelesaian sistem persamaan
2x + 5y + 4z = 28
3x – 2y + 5z = 19
6x + 3y – 2z = 4
adalah …
Jawab :
Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan
(3)
2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)
3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)
6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)
Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut
2x + 5y + 4z = 28
4z = 28 – 2x – 5y
………………………………………..(4)
Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke
persamaan (2) sehingga
3x – 2y + 5z = 19
Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh
12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76
2x -33y = -64 ……………………………………….(5)
Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan
(3) sehingga
6x + 3y – 2z = 4
Jika kedua ruas dikali 4 maka
24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16
28x + 22y = 72
14x + 11y = 36
11y = 36 – 14x
…………………………………………(6)
Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan
(5) sehingga
2x -33y = -64
2x – 108 + 42x = -64
44x = 44
x=1
Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}
Nilai mutlak
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan
nilai mutlak berikut ini.
Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 < x+7 < 9
-9 – 7 < x < 9 – 7
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 < x+7 < 9
-9 – 7 < x < 9 – 7
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak
ini dibagi menjadi dua bagian.
(*) 2x – 1 >= 7
2x >= 7 + 1
2x >= 8
x >= 4
(*) 2x – 1 >= 7
2x >= 7 + 1
2x >= 8
x >= 4
(**) 2x – 1 <= -7
2x <= -7 + 1
2x <= -6
x <= -3
2x <= -7 + 1
2x <= -6
x <= -3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x
<= -3 atau x >= 4}
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah
menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.
perhatikan proses berikut ini.
(x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 – (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) (x + 3 – 2x + 3) <= 0
(ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))
x (6 – x) <=0
Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka
penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar